MATLAB信号处理
这篇文章主要展示一下 MATLAB 画信号。
众所周知，MATLAB 是一款功能强大的科学计算软件。
我就不做具体介绍了，基本操作也略过，这些网上一搜一大把。
1. 单位冲激信号
单位冲激信号（unit impulse signal）是最基本的信号，定义如下：
\[ \begin{aligned} \begin {cases} \delta(t) = 0, t \ne 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\text d t = 1\end{cases} \\ \\ \delta[k] = \begin {cases} 1, & k = 0 \\ 0, & k \ne 0 \end{cases} \end{aligned} \]
代码：1
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7k = -10 : 10;
yd = (k == 0);
stem(k, yd);
xlabel('k');
ylabel('f[k]');
title('unit impulse signal');
图形：
stem() 函数是用来画离散信号图的，第一个参数表示横轴刻度， 第二个参数表示幅度。与之对应的 plot() 函数是用来画连续信号图的，马上就会看到。
2. 单位阶跃信号
单位阶跃信号（unit step signal）也是一个很重要的信号，定义如下：
\[ \begin{aligned} \varepsilon(t) &= \begin {cases} 1 & \text t \gt 0 \\ 0 & \text t \lt 0 \end{cases} \\ \\ \varepsilon[k] &= \begin {cases} 1 & \text k \ge 0 \\ 0 & \text k \lt 0 \end{cases} \end{aligned} \]
代码：1
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13t = -10 : 0.01 : 10;
ya = stepfun(t, 0);
plot(t, ya);
hold on;
k = -10 : 10;
yd = stepfun(k, 0);
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('unit step signal');
图形：
这里我把两张图画在一起了，蓝色的代表连续信号，橙色的代表离散信号。代码中 t 表示连续时间，k 表示离散取样，下同。
3. 正弦信号
正弦或余弦类信号这里统称为正弦信号（sinusoidal signal），因为他们只是相位差 \(\pi/2\) 的关系。定义如下：
\[ \begin{aligned} f(t) &= Asin(\omega t +\varphi) \\ \\ f[k] &= Asin(\omega k +\varphi) \end{aligned} \]
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13t = -10 : 0.01 : 10;
ya = sin(t);
plot(t, ya);
hold on;
k = -10 : 10;
yd = sin(k);
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('sinusoidal signal');
图形：
这里提一下，蓝色的连续信号其实并不“连续”，因为 plot() 函数其实只是把那些点连成了一条曲线而已。MATLAB 无法画出真正的连续信号图，本质是因为冯·诺依曼结构的计算机是一个离散的系统。
4. 指数信号
指数信号（exponential signal）几乎是最常用的信号了，各种变换中随处可见。定义如下：
\[ \begin{aligned} f(t) &= Ae^{\alpha t} \\ \\ f[k] &= A\alpha^k \end{aligned} \]
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15a = -0.5;
t = 0 : 0.01 : 10;
ya = exp(a * t);
plot(t, ya);
hold on;
k = 0 : 10;
yd = a .^ k;
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('exponential signal');
图形：
可以看到，他们并没有重合，看代码就知道，因为指数信号在连续系统和离散系统中定义不一样。
5. 矩形信号
矩形信号（rectangular signal）也是一个基本信号，定义如下：
\[ \begin{aligned} g_{\tau}(t) &= \begin {cases} 1,& \text |t| \lt \frac{\tau}{2} \\ 0 & \text |t| \gt \frac{\tau}{2} \end{cases} \\ \\ g_{\tau}[k] &= \begin {cases} 1,& \text |k| \lt \frac{\tau}{2} \\ 0 & \text |k| \gt \frac{\tau}{2} \end{cases} \end{aligned} \]
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13t = -1 : 0.01 : 1;
ya = rectpuls(t);
plot(t, ya);
hold on;
k = -1 : 1;
yd = rectpuls(k);
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('rectangular signal');
图形：
当宽度为 1 的单位矩形信号进行 T = 1 的抽样时得到的离散信号是单位冲激信号……
6. 方波信号
方波信号（square wave signal）可看作是周期性的矩形信号。
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15w = 1;
t = -10 : 0.01 : 10;
ya = square(w * t);
plot(t, ya);
hold on;
k = -10 : 10;
yd = square(w * k);
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('square wave signal');
图形：
7. 抽样信号
抽样信号（sampling signal）定义如下：
\[ \begin{aligned} Sa(t) &= \frac{sin(t)}{t} \\ \\ Sa[k] &= \frac{sin(k)}{k} \end{aligned} \]
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13t = -10 : 0.01 : 10;
ya = sinc(t / pi);
plot(t, ya);
hold on;
k = -10 : 10;
yd = sinc(k / pi);
stem(k, yd);
xlabel('t / k');
ylabel('f(t) / f[k]');
title('sampling signal');
图形：
在 MATLAB 中抽样信号是 sinc() 函数，定义为：\(sinc(t) = \frac{sin(\pi t)}{\pi t}\)，故系数要除以一个\(\pi\)。